Le trasformazioni anamorfiche: omologia e affinità

Le trasformazioni anamorfiche sono quei movimenti nel piano che fanno variare alla figura sia gli angoli sia le dimensioni dei lati rispetto alla figura originale: sono l’omologia e l’affinità. L'aspetto geometrico dell'omologia è piuttosto complesso e di difficile comprensione: a noi interessa soprattutto la sua applicazione nel disegno.

Omologia

Due figure sono in rapporto di omologia quando:

  • per entrambe esiste una coppia di punti in corrispondenza biunivoca (A e A’, B e B', ecc.), allineati con un punto fisso O, centro dell’omologia;
  • due rette omologhe, appartenenti alle figure, si intersecano in una retta fissa, l’asse dell’omologia.

Nell’esempio illustrato a fianco, i punti A e A’, B e B’, C e C’ sono allineati con il centro O dell’omologia e i prolungamenti delle coppie di rette omologhe (AB e A’B’, BC e B’C’, AC e A’C’) si intersecano sull’asse a. In questo caso i triangoli ABC e A’B’C’ sono omologhi. Per determinare la figura omologa di un’altra dobbiamo definire il centro, l’asse e una coppia di punti omologhi. L’omologia è molto importante per la comprensione geometrica dei metodi grafici delle proiezioni (geometria proiettiva).

Omologia diretta.

Omologia affine (affinità)

Quando il centro di un’omologia è improprio (cioè all’infinito), le rette che uniscono coppie di punti omologhi sono parallele tra loro. In questo caso si parla di omologia affine o affinità. Le coppie di rette affini si intersecano sempre sull’asse dell’omologia affine e i segmenti che uniscono punti affini sono paralleli alla direzione d’affinità. La simmetria assiale dell’esempio illustrato a lato può essere considerata come un caso particolare di affinità. La direzione dell’affinità è perpendicolare all’asse di simmetria, che diventa l’asse dell’affinità.

Omologia affine: il centro è improprio, cioè all’infinito. La simmetria assiale può essere
considerata un caso particolare di omologia affine.

Applicazioni dell’omologia affine

Una delle più comuni applicazioni delle omologie si verifica nella soluzione delle prospettive accidentali. Il ribaltamento sul piano del quadro prospettico e la rappresentazione prospettica sono, infatti, due figure omologhe: l’asse di omologia è la linea di terra (LT) e il centro dell’omologia è il punto di vista (PV). Applicando, invece, l’omologia affine si ottengono le assonometrie. Infatti, ribaltando il piano del triangolo delle tracce sui piani del triedro,  si stabilisce un rapporto di omologia affine: l’asse dell’omologia è il lato del triangolo delle tracce e la direzione d’affinità è perpendicolare a questo asse. I punti dell’asse sono punti doppi e il centro dell’affinità è all’infinito. 

   
 Costruzione omologica della prospettiva accidentale. Costruzione dell’assonometria  mediante l’applicazione  dell’omologia affine.

 

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