Le trasformazioni isomorfiche

Le trasformazioni isomorfiche sono quei movimenti nel piano che fanno conservare alla figura gli stessi angoli ma ne variano le dimensioni dei lati rispetto alla figura originale: sono l’omotetia e la similitudine.

Dato un punto O in un piano α, consideriamo un punto P e la semiretta OP, di origine O. Scelto un numero k reale e positivo, esiste un solo punto P’ sulla semiretta OP tale che sia OP’/OP=k.  Per esempio, se k=4, il punto P’ è tale che OP’/OP=4. La corrispondenza tra i punti P e P’ è biunivoca e quindi chiameremo omotetia di centro O e rapporto k (o omotetia diretta) tale trasformazione nel piano α. Se fissiamo il punto P’’, dalla parte opposta di P rispetto ad O, avremo OP”/OP=-k: si parla quindi di omotetia inversa, di centro O e rapporto -k. Da questi presupposti consegue la seguente definizione: “Due figure sono omotetiche quando per entrambe esiste una coppia di punti in corrispondenza biunivoca (A e A’), allineati con un punto fisso O, centro dell’omotetia”. In entrambi i casi di omotetia (diretta e inversa) le rette che uniscono i punti dell’omotetia sono parallele tra loro (AB//A’B’), gli angoli sono uguali e i lati proporzionali. Tale principio geometrico consente l’ingrandimento e la riduzione proporzionale delle figure.

Similitudine

Dal punto di vista geometrico, si definisce similitudine la trasformazione geometrica che si ottiene dal prodotto di una omotetia con una isometria. Più in generale, possiamo dire che due figure sono simili quando hanno angoli uguali e lati proporzionali. La similitudine può essere diretta o inversa e la proporzione tra i lati delle figure si definisce rapporto di similitudine, solitamente indicato con k. Le figure omotetiche sono sempre simili; invece, due figure simili sono omotetiche solo quando le coppie di punti omotetici sono allineate con il centro dell’omotetia. I teoremi della similitudine dei triangoli (che avrai studiato in geometria) sono un eccellente esempio di applicazione dell’omotetia. Un’applicazione pratica della omotetia si verifica, per esempio, nella costruzione di rette tangenti alla circonferenza. Tra le applicazioni della similitudine, invece, ci sono numerosi teoremi sulla circonferenza, sui quadrilateri e, in particolare, la divisione di un segmento secondo la sua sezione aurea.

La sezione aurea

Dividere un segmento in sezione aurea significa dividerlo in due parti tali che una di esse sia media proporzionale tra l’intero segmento e la parte rimanente. Il segmento medio proporzionale è la parte aurea del segmento stesso. Per costruire la sezione aurea si applicano i principi della similitudine, in particolare il teorema della tangente e della secante, ad una circonferenza:

  1. Dato il segmento AB, traccio la perpendicolare nell’estremo B e fisso su di essa il punto C, tale che risulti CB=1/2 AB.
  2. Punto in C, con apertura CB, e traccio una circonferenza; unisco A con C e sulla circonferenza determino i punti di intersezione R e Q.
  3. Punto in A, con apertura AR, e traccio un arco che interseca il segmento AB nel punto D. Per il teorema della tangente e della secante risulta:

AB:AD=AD:DB cioè AD è medio proporzionale tra AB e DB e quindi è la parte aurea del segmento AB.
Il rapporto AB/AD si chiama rapporto aureo e corrisponde a 1,618.

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